scritto da Roberto on Home

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Stamattina mi sono svegliato con in testa il concetto di fake news in matematica. Ho deciso di riflettere sull’idea se anche in matematica esistono fake news, magari molto radicate e quindi difficili da smontare, e sono arrivato alla conclusione che a mia conoscenza ce ne sono almeno due. Le descrivo brevemente.

La prima.

Consideriamo una somma infinita come questa:

1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…

C’è un accordo generale sul fatto che questa addizione di infiniti termini abbia un risultato finito, pare lo garantisca uno di una certa importanza, di nome Leibniz, e qualcuno arriva a dire che sa benissimo quanto vale quella somma, qualcosa tipo ln 2.

E fino a qui nessun problema. Questi nascono per il fatto che qualcuno afferma che se io comincio a scambiare tra loro un po’ di addendi, cioè magari comincio a fare

1+(1/3)-(1/2)-(1/4)+…

allora potrebbe venire un risultato diverso! Ma si sa che nel tempo le fake si perfezionano, e questa ora ha assunto la seguente grottesca formulazione:

Prendi una serie qualsiasi, come quella di sopra, che ha caratteristica di convergere, ma che  è infinita se invece di alternare i segni li prendi tutti col segno più (si sa che 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+… fa proprio più infinito), fissa un qualunque numero reale, o anche +infinito e mettici pure meno infinito, e chiamalo a; allora esiste un modo di riordinare (cioè cambiare l’ordine degli addendi) della somma in modo che il risultato finale sia a.

Beh, è stupefacente che ci sia gente che crede a una balla simile.

La seconda fake, a parole si può dare così (dopo una formulazione più matematica)

Prendo il quadrato [0,1]x[0,1],  e a ogni suo punto associo o il valore 0 o il valore 1. Con il vincolo seguente: se fisso un segmento verticale qualsiasi del quadrato,  gli 0 devono essere pochi, la misura dei punti dove metto 1 deve essere  1, cioè la misura di tutto il segmento. Dopo aver fatto questa operazione, vi sfido a tracciare una linea continua (che sia un grafico) dentro il quadrato e a passare in almeno un punto dove ci sia un 1. Ovviamente ci provate con aria di sufficienza, gli 0 sono talmente pochi… ma il vostro primo tentativo va a vuoto. Ok, pensate, avete avuto una botta di sfiga, ci provate riprovate, ma niente da fare! Proprio non ci riuscite, accidenti!

Si possono affermare cose più ridicole?

Adesso la stessa fake col formalismo matematico.

Esiste una funzione f(x,y) definita nel quadrato [0,1]x[0,1], e con le proprietà seguenti:

1) per ogni fissato x, f(x,y)=0 su un insieme al più numerabile;

2)  f(x,y(x))=0 per ogni y(x) da [0,1] in [0,1] e continua.

Si può affermare cose più ridicole?

Naturalmente, dietro a queste storielle, che possono venire in mente solo a un matematico in quarantena (e senza ragazzini in casa), ci sta sempre una morale, ma di questa ne parliamo tra qualche giorno…